연구 이유 : SO(3) bi-equivariance in a general policy learning setting have not yet been developed → EDF와 같은 것들은 point descriptor로 pick, place pose 만 infer 하며, 지금까지 SO(3) equivariant 한 Policy Learning 이 없었고, 처음으로 제시
해당 연구의 Key point :
Our key innovation is to parameterize action distributions over SO(3) in the Fourier domain as coefficients of Wigner D-matrix entries.
our proposed method generalizes bi-equvariance to both 2D and 3D manipulation pick-and-place problems, infers the pick-and-place distribution over the entire action space with a single pass, and utilizes convolution in Fourier space to improve computation efficiency
figure 1 : bi-equivariance
a’ = g2 a g1^-1
g2 : place 할 위치의 회전 변환
a : 원래 pick부터 place 까지의 회전 변환
g1^-1 : pick 될 물체가 회전했을 때 이를 역변환시켜 원래의 방향으로 되돌리는 변환
The icosahedral rotation group I60 and octohedral rotation group O24 are finite subgroups of the group SO(3) → 정이십면체랑 정팔면체는 각각 60, 24개의 유한한 회전변환을 가진다.
The trivial representation ρ0 : SO(d) → GL1 assigns ρ0(g) = 1 for all g ∈ G, i.e. there is no transformation under rotation. → 회전에 대해 불변
The standard representation ρ1 of SO(d) assigns each group element its standard d × d rotation matrix. → strandard representation은 이미지를 돌리는 느낌 permutation이 안일어난다. steerable cnn에서 π랑 동일
For finite groups G, the regular representation ρreg acts on R|G| → regular representation은 fiber를 돌린다. 즉 feature vector가 회전하면서 permutation이 일어난다. steerable cnn에서 Indρ랑 동일