Preliminaries

기본 개념

항등원(Identity element): 집합에는 항등원이 존재하며, 항등원은 어떤 원소와 연산하더라도 그 원소 자체가 결과로 나온다. 예를 들어, 숫자 0은 덧셈에서 항등원이다.

역원(inverse): g−1는 변환 g의 역원으로, 변환 g를 적용한 후 이를 원래 상태로 되돌리는 변환을 의미 호모모르피즘(homomorphism) : 두 개의 대수적 구조(예: 군, 환, 벡터 공간) 사이의 구조를 보존하는 함수. 구체적으로, 두 변환 g와 h가 있을 때, 이 변환들이 서로 순서를 바꾸지 않고 연산이 이루어지는 경우를 의미. 호모모르피즘의 성질을 만족시키려면, 연산 Lg와 Lh가 아래와 같은 관계를 가져야 함

$$ L_gL_h=L_{gh} $$

g를 먼저 적용하고 h를 적용하는 것이 곧 g와 h를 합성한 gh를 한 번에 적용하는 것과 같다.

가환성(commutativity) : 군의 두 변환들, 예를 들어 g와 h가 교환가능한 경우를 의미. 다시 말해 변환 g를 먼저 적용하고 h를 적용한 경우와 h를 먼저 적용하고 g를 적용한 결과가 동일한 경우(gh=hg)

p4군 : 90도 회전과 평행 이동(이미지에서의 좌표)을 포함하는 변환 집합 (4개의 평면 패치)

p4m군 : 90도 회전(p4)과 반사(미러링, m)을 포함하는 대칭 군 (8개의 평면 패치)

군의 변환 (g)

• 논문에서는 군의 변환 g가 피처 맵 f에 어떻게 작용하는지를 설명. 이 변환을 나타내는 수식은 다음과 같다:

$$ L_g f = f(g^{-1} x) $$

• 여기서 Lg는 변환 g가 피처 맵 f에 작용하는 것을 나타내는 operator. 이 수식은 변환 g를 적용했을 때, 변환 후의 좌표 x에서의 값은, 원래 피처 맵 f에서의 g−1x 위치의 값과 같다는 것을 의미. 다시 말해, g-1x를 사용하는 이유는 아래와 같다.

left group action이 위와 같이 정의되는 이유