Pseudo inverse matrix

의사역행렬의 기하학적 의미 - 공돌이의 수학정리노트 (Angelo's Math Notes)

의사 역행렬은 행렬 A의 역행렬이 존재하지 않을 경우 역행렬에 최대한 근사한 행렬을 의미하며, 최승자승해의 최적값을 구할 때 사용된다.

Here again, the pseudo-inverse is used to compute the least-square optimum.

Jacobian in Robotics

자코비안(Jacobian)이란 무엇인가

로봇의 역기구학 즉, 우리가 생각하는 공간(Task Spcae, 3차원공간) 에서 특정 거리(ex: x축 방향으로 1cm) 만큼 움직이기 위해서 자코비안 행렬을 사용해 로봇이 생각하는 공간(Joint Spcae) 에서 필요한 q값(joint velocity) 값을 알아낼 수 있다.

Null Spcae Projection

Redundant robot에서 Null Space Projection의 개념

[Null space control] Null space Projection for redundant manipulator

pseudo inverse Jacobian을 통해 Joint 값을 (Joint 속도값을) 구하게 되는데, 이때 redundant인 경우에는 해가 무한하다. 이 많은 해 들중에 최적화를 시킬 수 있는 해를 찾기 위해 Null space projection 이 사용된다.

Untitled

위 수식에서 (4)번 식 중 P는 행렬 A의 영공간(Null Space)에 대한 프로젝터로 A의 영공간안에 있는 벡터를 제거하는데 사용 된다.

  1. 𝐴𝑃=0: 𝐴의 영공간에 있는 모든 벡터를 0으로 투영한다.
  2. 𝑃𝑃=𝑃 : 𝑃 자체를 𝑃 로 투영, 즉 프로젝터가 자기 자신을 그대로 유지하는 것을 의미한다.

이러한 영벡터의 제거는 수학적 모델을 간단하게 만들고, 해의 유일성을 보장한다.

일반적으로 선형 방정식을 풀 때, 해가 유일하지 않을 수 있다. 𝐴𝑥=𝑏 형태의 선형 방정식에서, 𝐴의 영공간에 속하는 벡터는 𝑏와 관련이 없는 영벡터로서 해를 찾는 데 방해가 될 수 있다. 따라서 영공간에 있는 벡터를 제거하여 해의 유일성을 보장할 수 있다.

x_2 를 사용하여 추가적인 제약을 만족시키거나 목적 함수를 조정가능하다.