Motivation : G-CNN은 그룹 원소들에 대해서만 계산하고 저장하기에 infinite한 group element에 대해서는 적합하지 않음

STeerable CNN’s contribution : The key idea is that, instead of storing the value of a feature map on each group element, the model stores the Fourier transform of this feature map, up to a finite number of frequencies.

Concepts

군의 표현은 군 G의 원소들을 행렬로 변환하는 함수이다. 군의 원소들은 어떤 특정 벡터 공간에서

선형 변환을 나타낸다. 즉, 군의 원소가 벡터 공간의 점들을 어떻게 변환하는지를 행렬을 통해 표현한다.

일반 선형 군 (General Linear Group) GL(R^d)는 d-차원 실수 벡터 공간 R^d에서의 모든 invertible (역행렬이 존재하는) 선형 변환의 집합

**컴팩트 군(Compact Group)**은 군 이론에서 중요한 개념으로, 다음과 같은 두 가지 주요 특징을 가진 군이다:

1. 컴팩트성 (Compactness): 군이 유한한 범위를 가지며, 군의 모든 원소를 포함하는 유한한 부분 집합이 존재하는 경우를 의미. 형식적으로, 군 G가 컴팩트하다는 것은 군 G를 위상 공간으로 생각했을 때, G가 컴팩트 공간이라는 것을 의미. 즉, G의 모든 열린 덮개가 유한한 부분 덮개를 가진다는 것.
2. 연속성 (Continuity): 군의 원소들이 연속적으로 변할 수 있어야 하며, 군의 연산이 연속적이어야 함. 이는 군의 원소들이 연속적인 변화를 통해 서로 연결될 수 있음을 의미

군 동형사상 ρ : G의 원소를 GL(R^d)의 행렬로 변환하는 함수

동형사상 조건 : ρ(g1g2)=ρ(g1)ρ(g2)가 모든 g1,g2∈G 에 대해 성립해야함

(Representation Theory) : 군이나 대수적 구조의 원소를 일반 선형 군의 행렬로 변환하여 연구하는 분야

1.1 Group Representation

SO(2)군 - Standard Representation