Equivariance : x→y로 변환시키는 f에 대해 input(x→x)에 transformation(x→x)을 취하고 f를 씌우는 것이나 f를 씌우고 transformation(y→y)을 취하는 것이나 동일한 것
Representation Theory : group G를 matrix로 표현하는 것, 주로 ρ로 표현. 이러한 representation은 change of basis를 통해 irreps 들의 합으로 표현 가능
또한, 각 irreps (ρ_l)들은 분리된 orthogonal한 subspace( X_l ∈ X ) 에서 act하며, 각 벡터를 해당 subspace내에서 mapping한다. (irreps 마다 가진 subspace 내에서 벡터를 mapping 한다는 뜻)
위와 같이 SO(3)에 대한 representation을 정의할 수 있고, D_J는 Wigner-D matrices 로 SO(3) 군의 irreps다.
Wigner-D matrices : SO(3) 군의 irreps로 J에 다라 type-J vectors로 부른다. Type-0 vectors 는 회전에 불변하며, Type-1 vectors 는 3차원 회전 행렬을 따라 회전한다. Type-J vectors는 2J+1의 length를 가진다. Spherical Harmonics 로 이루어진 함수 공간에서 회전 변환을 할 때, Wigner-D matrices가 이를 어떻게 변환하는지 나타낸다. 즉, Wigner-D 행렬에 대응하는 직교 공간들이 Spherical Harmonics의 공간과 연결되어 있음을 의미한다.
L2(S2) : **L2(S2)는 구면 S2 위에서 정의된 제곱 적분 가능 함수들(**square-integrable functions)**의 힐베르트 공간(Hilbert space)**이다. 힐베르트 공간은 기하학적, 함수적 성질을 연구할 때 중요한 함수 공간의 개념으로, 함수들 간의 내적(inner product)과 직교성을 다룰 수 있는 구조를 가진다.
vector space는 덧셈과 곱셈에 닫혀 있으므로, vector space 안에 있는 함수들을 더하거나 곱해도 vector space안에 속해야 한다. 그러나 무한히 선형 결합을 하게 되면 vector space 밖에 존재하는 함수를 표현할 수도 있으므로 Hilbert space 로 정의를 해주어야 한다.
Spherical Harmonic Y_J : 2차원 구면, 즉 3차원 공간에서의 구의 표면에서 정의된 함수들의 기저 역할을 한다. 복소수 값을 가지며 주어진 값 J에 대해 2J+1 개의 Spherical Harmonics를 가지게 된다.
Spherical Harmonics 의 회전 변환은 아래와 같이 2J+1 차원의 Wigner-D matrices를 통해 표현된다.
they are rotated directly by the Wigner-D matrices
(1)
Spherical Harmonics는 구의 표면에서 정의된 함수들의 기저 역할을 하므로 우리는 L2(S2) 공간에 있는 어떤 함수 f를 아래와 같이 spherical harmonics의 선형 결합으로 표현할 수 있다.
$$ f(x)=\sum_{J \geqq 0} f_{J}^⊤Y_J(x) , \ \ x \in S^2 \ \ \ \ \ \ (2) $$